EXERCICE DE LA PSYCHOGÉOGRAPHIE XII : Évariste GALOIS

Psychogéographique dans les mathématiques

Mon cher Ami,

J'ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. Les unes concernent la théorie des équations algébriques ; les autres, les fonctions intégrales.

Dans la théorie des équations, j'ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux ; ce qui ma donné occasion d'approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation, lors meme qu'elle n'est pas résoluble par radicaux.

On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.

Le premier est écrit; et, malgré ce qu'en a dit Poisson, je le maintiens avec les corrections que j'y ai faites.

Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes.

1* D'après les propositions II et III du premier Mémoires, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d'une équation auxiliaire, ou les adjoindre toutes.

Dans les deux cas, le groupe de l'équation se partage par l'adjonction en groupes tels que l'on passe de l'un à l'autre par une meme substitution; mais la condition que ces groupes aient les memes substitutions n'a lieu certainement que dans le second cas. Cela s'appelle la décomposition propre.

En d'autres termes, quand un groupe G en contient un autre H, le groupe G peut se partager en groupes, que l'on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une meme substitution ; en sorte que G = H + H S + H S' + ... Et aussi, il peut se décomposer en groupes qui ont toutes les memes substitutions G = H + T H + T' H + ...

Ces deux genres de décompositions ne coincident pas ordinairement. Quand elles coincident, la décomposition est dite propre.

Il est aisé de voir que quand le groupe d'une équation n'est susceptible d'aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le meme nombre de permutations.

Au contraire, quand le groupe d'une équation est susceptible d'une décomposition propre, en sorte qu'il se partage en M groupes de N permutations, on pourra résoudre l'équation donnée au moyen de deux équations : l'une aura un groupe de M permutations, l'autre un de N permutations.

Lors donc qu'on aura épuisé sur le groupe d'une équation tout ce qu'il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrivera à des groupes qu'on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en meme ordre.

Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l'équation sera soluble par radicaux; sinon non.

Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable, quand ce nombre n'est pas premier est 5.4.3. 2* Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la méthode de M. Gauss. Comme ces décompositions sont évidentes, meme dans la forme actuelle du groupe de l'équation, il est inutile de s'arreter longtemps sur cet objet. Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui ne se simplifie pas par la méthode de M. Gauss ? J'ai appelé primitives les équations qui ne peuvent pas se simplifier par la méthodes de M. Gauss ; non que ces équations soient réellement indécomposables, puisqu'elles peuvent meme se résoudre par radicaux. Comme le lemme à la théorie des équations primitives solubles par radicaux, j'ai mis en juin 1830, dans le Bulletin Férussac, une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres. On trouvera ci-jointe la démonstration des théorèmes suivants.

1. Pour qu'une équation primitive soit soluble par radicaux, elle doit etre de degré p^v, p étant premier.

2. Toutes les permutations d'une pareille équation sont de la forme

x_k.l.m... / x_ak +bl + cm + ... + f. x_a1k +b1l + c1m + ... + g. ...

k,l,m ... étant v indices, qui , prenant chacun p valeurs, indiquent toutes les racines. Les indices sont pris suivant module p ; c'est-à-dire que la racine sera la meme quand on ajoutera à l'un des indices un multiple de p.

Le groupes qu'on obtient en opérant toutes les substitutions de cette forme linéaire contient en tout p^n (p^n-p) ...(p^n-p^n-1) permutations. Il s'en faut que dans cette généralité les équations qui lui répondent sont résoluble par radicaux. La condition que j'ai indiquée dans le Bulletin de Férussac pour que l'équation soit résoluble par radicaux est trop restreinte ; il y a peu d'exceptions, mais il y en a. La dernière application de la théorie des équations est relative aux équations modulaires des fonctions elliptiques.

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Tu sais mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j'aie explorés. Mes principales méditations, depuis quelques temps, étaient dirigées sur l'application à l'analyse transcendante de la théorie de l'ambiguité. Il s'agissait de voir a priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données, sans que la relation put cesser d'avoir lieu. Cela fait reconnaitre de suite l'impossibilité de beaucoup d'expressions que l'on pourrait chercher. Mais je n'ai pas le temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain, qui est immense.

Tu feras imprimer cette lettre dans la Revue encyclopédique. Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n'étais pas sûr. Mais tout ce que j'ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu'on me soupconne d'avoir énoncé des théorèmes dont je n'aurais pas la démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi et Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes. Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gachis. Je t'embrasse avec effusion.

Évariste GALOIS, Lettre-testament, adressée le 29 mai 1832 à Auguste Chevalier